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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
5.
Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para $x \rightarrow +\infty$ como para $x \rightarrow -\infty$) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$
a) $f(x)=x+e^{x} \operatorname{sen} x$
Respuesta
Asíntotas verticales
Reportar problema
Como el dominio de esta función es $\mathbb{R}$, no tiene asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) $
Acordate que $e^{x}$ tiende a $0$ cuando el exponente tiende a $-\infty$... y está multiplicando a una función que está acotada! Así que nos queda:
$\lim_{x \to -\infty} x+e^{x} \sin (x) = -\infty + 0 = -\infty $
Ahora calculamos el límite $x \to +\infty$
$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) $
Ojo acá, el límite
$\lim_{x \to +\infty} e^{x} \sin (x) $
no existe, esto oscila haciendose cada vez más y más grande.
Por lo tanto,
$\lim_{x \to +\infty} x+e^{x} \sin (x) =$ No existe
En conclusión $f$ no tiene asíntotas horizontales. Veamos si en $-\infty$ tenemos asíntota oblicua:
Asíntota oblicua
\( m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + e^x \sin(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} 1 + \frac{e^x \sin(x)}{x} = 1 + 0 = 1 \)
\( b = \lim_{x \to -\infty} f(x) - mx = \lim_{x \to -\infty} (x + e^x \sin(x) - x) = 0\)
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua en $y = x$ en $-\infty$